Máloktoré geometrické tvary sú také rozmanité ako mnohouholníky. Zahŕňajú známy trojuholník, štvorec a päťuholník, ale to je len začiatok.
V geometrii je mnohouholník akýkoľvek dvojrozmerný tvar, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
- Skladá sa z troch alebo viacerých priamych čiar
- Je uzavretý bez otvorov alebo zlomov v tvare
- Má páry čiar, ktoré sa spájajú v rohoch alebo vrcholoch, kde tvoria uhly
- Má rovnaký počet strán a vnútorných uhlov
Dvojrozmerný znamená plochý ako kus papiera. Kocky nie sú mnohouholníky, pretože sú trojrozmerné. Kruhy nie sú mnohouholníky, pretože neobsahujú priame čiary.
Špeciálny druh mnohouholníka môže mať uhly, ktoré nie sú všetky rovnaké. V tomto prípade sa nazýva irregular polygón.
O mnohouholníkoch
Názov polygón pochádza z dvoch gréckych slov:
- Poly, čo znamená many
- Gon, čo znamená uhol
Tvary, ktoré sú mnohouholníkmi
- Trigon (trojuholník): 3 strany
- Tetragon (štvorec): 4 strany
- Pentuholníky: 5 strán
- Šesťuholník: 6 strán
- Sedemuholník: 7 strán
- Osemuholníky: 8 strán
- Neuholník: 9 strán
- Desaťuholník: 10 strán
- Undecagon: 11 strán
- Dvanásťuholníky: 12 strán
Ako sa nazývajú mnohouholníky
Názvy jednotlivých polygónov sú odvodené od počtu strán alebo rohov, ktoré má tvar. Mnohouholníky majú rovnaký počet strán a rohov.
Bežným názvom pre väčšinu polygónov je grécka predpona pre „strany“pripojená ku gréckemu slovu pre roh (gon).
Príklady pre päť a šesťstranné pravidelné mnohouholníky sú:
- Penta (gréčtina znamená päť) + gon= pentagon
- Hexa (gréčtina znamená šesť) + gon= hexagon
Táto schéma pomenovania má výnimky. Najmä so slovami, ktoré sa častejšie používajú pre niektoré polygóny:
- Trojuholník: Používa grécku predponu Tri, ale namiesto gréckeho gon, latinku uhol Používa sa. Trigon je správny geometrický názov, ale používa sa len zriedka.
- Štvoruholník: odvodené z latinskej predpony quadri, znamená štyri, pripojené k slovu laterálny, čo je ďalšie latinské slovo s významom side.
- Square: Niekedy sa štvorstranný mnohouholník (štvorec) označuje ako štvoruholník alebo štvoruholník.
N-Gons
Mnohouholníky s viac ako 10 stranami sa vyskytujú zriedkavo, ale riadia sa rovnakou gréckou konvenciou pomenovania. 100-stranný mnohouholník sa teda označuje ako hectogon.
V matematike sa však päťuholníky niekedy pohodlnejšie označujú ako n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodekagon
- 20-gon: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
V matematike sa n-uholníky a ich náprotivky s gréckym názvom používajú zameniteľne.
Limit polygónu
Teoreticky neexistuje žiadne obmedzenie počtu strán, ktoré môže mať polygón.
Keďže sa veľkosť vnútorných uhlov mnohouholníka zväčšuje a dĺžka jeho strán sa skracuje, mnohouholník sa približuje ku kruhu, ale nikdy sa tam úplne nedostane.
Klasifikácia mnohouholníkov
Pravidelné vs. nepravidelné mnohouholníky
Polygóny sa klasifikujú podľa toho, či sú všetky uhly alebo strany rovnaké.
- Pravidelný mnohouholník: Všetky uhly majú rovnakú veľkosť a všetky strany majú rovnakú dĺžku.
- Nepravidelný mnohouholník: Nemá rovnako veľké uhly ani strany rovnakej dĺžky.
Konvexné vs. konkávne mnohouholníky
Druhý spôsob klasifikácie polygónov je podľa veľkosti ich vnútorných uhlov.
- Konvexné polygóny: Nemajú žiadne vnútorné uhly väčšie ako 180°.
- Konkávne polygóny: Majú aspoň jeden vnútorný uhol väčší ako 180°.
Jednoduché vs. zložité polygóny
Ďalším spôsobom klasifikácie polygónov je spôsob, akým sa čiary tvoriace polygón pretínajú.
- Jednoduché polygóny: Čiary sa spájajú alebo pretínajú iba raz - vo vrcholoch.
- Komplexné polygóny: Čiary sa pretínajú viac ako raz.
Názvy zložitých mnohouholníkov sa niekedy líšia od názvov jednoduchých mnohouholníkov s rovnakým počtom strán.
Napríklad:
- Pravidelný tvar hexagon je šesťhranný jednoduchý mnohouholník.
- Hviezdicový hexagram je šesťhranný zložitý mnohouholník vytvorený prekrytím dvoch rovnostranných trojuholníkov.
Pravidlo súčtu vnútorných uhlov
Spravidla vždy, keď sa k polygónu pridá strana, ako napríklad:
- Z trojuholníka na štvoruholník (tri až štyri strany)
- Od päťuholníka po šesťuholník (päť až šesť strán)
ďalších 180° sa pridá k súčtu vnútorných uhlov.
Toto pravidlo možno napísať ako vzorec:
(n – 2) × 180°
kde n sa rovná počtu strán mnohouholníka.
Súčet vnútorných uhlov pre šesťuholník teda možno nájsť pomocou vzorca:
(6 – 2) × 180°=720°
Koľko trojuholníkov v tomto mnohouholníku?
Vyššie uvedený vzorec vnútorného uhla je odvodený rozdelením mnohouholníka na trojuholníky a toto číslo možno nájsť výpočtom:
n – 2
V tomto vzorci sa n rovná počtu strán mnohouholníka.
Šesťuholník (šesť strán) možno rozdeliť na štyri trojuholníky (6 - 2) a dvanásťuholník na 10 trojuholníkov (12 - 2).
Veľkosť uhla pre bežné mnohouholníky
Pre bežné mnohouholníky, v ktorých sú všetky uhly rovnakej veľkosti a strany rovnako dlhé, možno veľkosť každého uhla v mnohouholníku vypočítať vydelením celkovej veľkosti uhlov (v stupňoch) celkovým počtom strán.
Pre bežný šesťhranný šesťuholník je každý uhol:
720° ÷ 6=120°
Niektoré dobre známe polygóny
známe polygóny zahŕňajú:
Trusses
Strešné nosníky sú často trojuholníkové. V závislosti od šírky a sklonu strechy môže nosník obsahovať rovnostranné alebo rovnoramenné trojuholníky. Pre svoju veľkú pevnosť sa trojuholníky používajú pri stavbe mostov a rámov bicyklov. Sú prominentné v Eiffelovej veži.
Pentagon
Pentagon – ústredie ministerstva obrany USA – dostal svoj názov podľa svojho tvaru. Budova je päťstranný pravidelný päťuholník.
Home Plate
Ďalším známym päťstranným pravidelným päťuholníkom je domáca platňa na bejzbalovom diamante.
Falošný Pentagon
Obrovské nákupné centrum neďaleko Šanghaja v Číne je postavené v tvare pravidelného päťuholníka a niekedy sa mu hovorí falošný päťuholník.
Snehové vločky
Každá snehová vločka začína ako šesťuholník, ale úroveň teploty a vlhkosti pridáva konáre a úponky, takže každá vyzerá inak.
Včely a osy
Prirodzené šesťuholníky zahŕňajú aj úle, kde každá bunka voštinového plástu, ktorý včely postavia na uchovávanie medu, je šesťuholníková. Hniezda papierových ôs obsahujú aj šesťuholníkové bunky, kde vychovávajú mláďatá.
The Giant's Causeway
Šesťuholníky sa nachádzajú aj v Giant's Causeway v severovýchodnom Írsku. Je to prírodný skalný útvar zložený z približne 40 000 do seba zapadajúcich čadičových stĺpov, ktoré vznikli pomalým chladením lávy zo starovekej sopečnej erupcie.
Octagon
Octagon – názov, ktorý dostal prsteň alebo klietka používaná v zápasoch Ultimate Fighting Championship (UFC) – pochádza z jeho tvaru. Je to osemhranný pravidelný osemuholník.
Značky Stop
Zastávka – jedna z najznámejších dopravných značiek – je ďalší osemhranný pravidelný osemuholník. Hoci sa farba, text alebo symboly na značke môžu líšiť, osemuholníkový tvar znamenia zastávky sa používa v mnohých krajinách po celom svete.